INSTITUTO
TECNOLÓGICO DE CIUDAD GUZMÁN
INGENIERIA
EN
TOPICOS SELECTOS DE FÍSICA
Unidad 4 Óptica
4.1 Naturaleza de la luz. Mediciones de la velocidad de la luz
4.2 Óptica Geométrica
4.2.1 Reflexión y refracción de la luz
4.2.2 Principio de Huygens
4.2.3 Reflexión interna total. Fibra óptica
4.3 Imágenes formadas por espejos planos y esféricos
4.4 Lentes delgadas y aplicaciones
4.5 Interferencia. Experimento de Young
4.6 Distribución de intensidad luminosa
4.7 Difracción
4.7.1 Difracción de una sola rendija
ALUMNO:
RICARDO
AVALOS GALVAN
23/05/2012
La óptica (del griego optomai, ver) es la rama de la física
que estudia el comportamiento de la luz, sus características y sus
manifestaciones. Abarca el estudio de la reflexión, la refracción, las
interferencias, la difracción, la formación de imágenes y la interacción de la
luz con la materia.
Antes de iniciar el siglo XIX la luz se consideraba como una
corriente de partículas emitidas por el objeto que era visto o que se emitían
de los ojos del observador. El principal exponente de la teoría corpuscular de
la luz fue Isaac Newton, quien explico que las partículas eran emitidas por una
fuente luminosa y que estas estimulaban el sentido de la visión al entrar al
ojo. Con base a ello, él pudo explicar la reflexión y la refracción.
La mayoría de los científicos acepto la teoría corpuscular
de la luz de Newton. Sin embargo, durante el curso de su vida fue propuesta
otra teoría, una que argüía que la luz podría ser un tipo de movimiento
ondulatorio. En 1678 un físico y astrónomo holandés, Christian Huygens,
demostró que la teoría de la luz podría explicar también la reflexión y
refracción. La teoría ondulatoria no fue aceptada de inmediato. Asimismo se
argüía que si la luz era alguna forma de onda, debería rodear los obstáculos;
por tanto, podríamos ver los objetos alrededor de las esquinas. Ahora se sabe
que efectivamente la luz rodea los bordes de los objetos. El fenómeno, conocido
como difracción, no es fácil de observar por que las ondas luminosas tienen
longitudes de ondas cortas. De este modo, aunque Francesco Grimaldi (1618-1663)
proporciono pruebas experimentales para la difracción aproximadamente en 1660,
la mayoría de los científicos rechazo la teoría ondulatoria y acepto la teoría
corpuscular de Newton durante más de un siglo.
La primera demostración clara de la naturaleza ondulatoria
de la luz fue proporcionada en 1801 por Thomas Young (1773-1829), quien
demostró que, en condiciones apropiadas los rayos luminosos interfieren entre
sí. En ese entonces dicho comportamiento no podía explicarse mediante la teoría
corpuscular debido a que no hay manera concebible por medio de la cual dos o
más partículas puedan juntarse y cancelarse una a la otra. Varios años después
u físico francés, Agustín Fresnel (1788-1829), efectuó varios experimentos
relacionados con la interferencia y la difracción. En 1850 Jean Foucault
(1791-1868) proporciono más pruebas de lo inadecuado de la teoría corpuscular
al demostrar que la rapidez de la luz en líquidos es menor que en el aire.
Otros experimentos realizados durante el siglo XIX llevaron a la aceptación de
la teoría ondulatoria de la luz, y el trabajo más importante fue el de Maxwell,
quien en 1873 afirmo que la luz era una forma de onda electromagnética de alta
frecuencia.
Aunque el modelo ondulatorio y la teoría clásica
de la electricidad y el magnetismo pudieron explicar la mayor parte de las
propiedades conocidas de la luz no ocurrió lo mismo con algunos experimentos
subsecuentes. El más impresionante de estos es el efecto fotoeléctrico,
descubierto por Hertz: cuando loas luz incide sobre una superficie metálica,
algunas veces los electrones son arrancados de la superficie.
Como un ejemplo de las dificultades que surgen, los experimentos mostraban que
la energía cinética de un electrón arrancado es independiente de la intensidad
luminosa. El hallazgo contradecía la teoría ondulatoria, la cual sostenía que
un has más intenso de luz debe agregar más energía al electrón. Una explicación
del efecto fotoeléctrico fue propuesta por Einstein en 1905 en una teoría que
empleo el concepto de cuantizacion supone que la energía de una onda luminosa
está presente en paquetes llamados fotones; por tanto, se dice que la energía
esta cuantizada. De acuerdo con la teoría de Einstein la energía de un fotón es
proporcional a la frecuencia de onda electromagnética:
E=hf
Donde la constante de proporcionalidad h=6.63x10ˆ34J*s es la constante de Planck. Es importante observar
que esta teoría retiene algunas características tanto de la teoría ondulatoria
como de la teoría corpuscular. El efecto fotoeléctrico es una consecuencia de
la transferencia de energía de un solo fotón a un electrón a un metal y aun
este fotón tiene características similares a las ondas ya que su energía su
energía está determinada por la frecuencia (una cantidad ondulatoria). En vista
de los hechos ya referidos, debe considerarse que la luz tiene una naturaleza
dual: En algunos casos la luz actúa como
una onda y en otros como una partícula.
La luz es luz sin duda. Sin embargo la pregunta, ¿”la luz es onda o
partícula’’? es inadecuada. En algunos casos la luz actúa como una onda y en
otros como una partícula.
Mediciones de la
velocidad de la luz
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El primero de los experimentos para medir la velocidad de la
luz se debe a Galileo, pero fue Roemer el que
obtuvo el primer resultado satisfactorio. Tengamos en cuenta, que hasta entonces
se suponía la transmisión instantánea de la luz Observó; que el tiempo que
transcurre entre dos eclipses consecutivos de uno de los satélites de Júpiter,
dependía de la posición relativa de la Tierra y Júpiter. El diámetro de la
órbita de la Tierra es aproximadamente de 3.108 Km. y el retraso que midió en
la posición r2 es de 1000 segundos con lo que c=3.108 Km/103 sg=300.000km/sg. (Fig.
superior)
Otro experimento, basado este, en el paso de la luz a través
de los dientes de una rueda girando a gran velocidad como se indica en la
figura, se debe a Fizeau. En este, la velocidad de rotación e la rueda permite
determinar el tiempo transcurrido toda vez que se conozca la distancia recorrida
de ida y vuelta del rayo de luz
Óptica
Geométrica
El estudio de las imágenes, producidas por refracción o por
reflexión de la luz se llama óptica geométrica. La óptica geométrica se ocupa
de las trayectorias de los rayos luminosos, despreciando los efectos de la luz
como movimiento ondulatorio, como las interferencias. Estos efectos se pueden
despreciar cuando el tamaño la longitud de onda es muy pequeña en comparación
de los objetos que la luz encuentra a su paso.
Para estudiar la posición de una imagen con respecto a un
objeto se utilizan las siguientes definiciones:
- Eje
óptico. Eje de abscisas perpendicular al plano refractor. El sentido
positivo se toma a la derecha al plano refractor, que es el sentido de
avance de la luz.
- Espacio
objeto. Espacio que queda a la izquierda del dioptrio.
- Espacio
imagen. Espacio que queda a la derecha del dioptrio.
- Imagen
real e imagen virtual. A pesar del carácter ficticio de una imagen
se dice que una imagen es real si está formada por dos rayos refractados
convergentes. Una imagen real se debe observar en una pantalla. Se dice
que es virtual si se toma por las prolongaciones de dos rayos refractados
divergentes.
Dos puntos interesantes del eje óptico son el foco objeto y
el foco imagen:
- Foco objeto. Punto F del eje óptico cuya imagen se encuentra en el infinito del espacio imagen.
- Foco
imagen. Punto F´ del eje óptico que es la imagen de un punto del infinito
del espacio objeto.
La construcción de imágenes es muy sencilla si se utilizan los rayos principales:
- Rayo paralelo: Rayo paralelo al eje óptico que parte de la parte superior del objeto. Después de refractarse pasa por el foco imagen.
- Rayo
focal: Rayo que parte de la parte superior del objeto y pasa por el
foco objeto, con lo cual se refracta de manera que sale paralelo. Después
de refractarse pasa por el foco imagen.
 |
| Ejemplo |
- Rayo radial: Rayo que parte de la parte superior del objeto y está dirigido hacia el centro de curvatura del dioptrio. Este rayo no se refracta y continúa en la mismas dirección ya que el ángulo de incidencia es igual a cero.
Reflexión y refracción de la luz
Para explicar este fenómeno debemos primero expresar que:
Espejo es toda superficie pulimentada, por ejemplo una lámina de cristal, la
superficie de un lago en reposo, etc...
Cuando la luz incide sobre un cuerpo, éste la devuelve al
medio en mayor o menor proporción según sus propias características. Este
fenómeno se llama reflexión y gracias a él podemos ver las cosas.
En la fig. Izquierda tienes un esquema de reflexión
especular. Al tratarse de una superficie lisa, los rayos reflejados son
paralelos, es decir tienen la misma dirección.
En el caso de la fig. Derecha la reflexión difusa los rayos
son reflejados en distintas direcciones debido a la rugosidad de la superficie
Leyes de la Reflexión
Primera Ley: El
rayo incidente (I), la normal (n) y el rayo reflejado (r) están en un mismo
plano.
Segunda Ley: El
ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión: i=r
Consecuencias
de la Segunda Ley: Como es ángulo de incidencia resulta igual al de
reflexión, se deduce que: Cuando el rayo incidente coincide con la normal, el
rayo se refleja sobre sí mismo.
Refracción
de la Luz
Refracción es el fenómeno por el cual un rayo luminoso sufre
una desviación al atravesar dos medios transparentes de distinta densidad.
Primera Ley: El rayo incidente, el rayo refractado y la
normal pertenecen al mismo plano.
Segunda Ley: La razón entre el seno del ángulo de incidencia
y el seno del ángulo de refracción es una constante - llamada índice de
refracción - del segundo medio respecto del primero:
Sen i / sen r= nb/a
nb/a: índice de refracción Del medio B respecto Del medio A
El índice de refracción varía de acuerdo los medios:el
-agua respecto del aire es n=1,33
-el vidrio respecto del aire es n=1,5
Existen tres tipos de
refracción:
En la (figura 4). Se muestra la trayectoria de un rayo de
luz que atraviesa varios medios con superficies de separación paralelas. El
índice de refracción del agua es más bajo que el del vidrio. Como el índice de
refracción del primer y el último medio es el mismo, el rayo emerge en
dirección paralela al rayo incidente AB, pero resulta desplazado.
Principio
de Huygens
Alrededor de 1860 el físico danés Huygens propuso un
mecanismo simple para trazar la propagación de ondas. Su construcción es
aplicable a onda mecánica en un medio material.
Un frente de onda
es una superficie que pasa por todos los puntos del medio alcanzados por el
movimiento ondulatorio en el mismo instante. La perturbación en todos esos
puntos tiene la misma fase. Podemos trazar una serie de líneas perpendiculares
a los sucesivos frentes de onda. Estas líneas se denominan rayos y corresponden
a las líneas de propagación de la onda. La relación entre rayos y frente de
ondas es similar a la de líneas de fuerza y superficies equipotenciales. El
tiempo que separa puntos correspondientes de dos superficies de onda es el
mismo para todos los pares de puntos correspondientes (teorema de Malus).
Huygens
visualizó un método para pasar de un frente de onda a otro.
Cuando el
movimiento ondulatorio alcanza los puntos que componen un frente de onda, cada
partícula del frente se convierte en una fuente secundaria de ondas, que emite
ondas secundarias (indicadas por semicircunferencias) que alcanzan la próxima
capa de partículas del medio. Entonces estas partículas se ponen en movimiento,
formando el subsiguiente frente de onda con la envolvente de estas
semicircunferencias. El proceso se repite, resultando la propagación de la onda
a través del medio. Esta representación de la propagación es muy razonable
cuando la onda resulta de las vibraciones mecánicas de las partículas del
medio, es decir una onda elástica pero no tendría significado físico en las
ondas electromagnéticas donde no hay partículas que vibren.
A
partir del principio de Huygens puede demostrarse la ley de la refracción. Supongamos que un frente de onda avanza
hacia la superficie refractante I1I2 que separa dos
medios en los cuales las velocidades de la luz son v y v´. Si consideramos I1 como
emisor, en el tiempo Dt en que la perturbación llega de A a I2,
la perturbación originada en I1 habrá
alcanzado la esfera de radio r´=v´Dt.
En el mismo tiempo la perturbación correspondiente llega a todos los puntos de
la envolvente BI2, y tomando los rayos normales a los frentes de
onda, de la figura se deduce que:
Lo cual está de acuerdo no solo a la experiencia no sólo en
cuanto a direcciones de propagación sino también en que en el medio de mayor
índice de refracción la velocidad es menor contrariamente a lo que suponían Descartes
y Newton.
La teoría
ondulatoria no pudo progresar en aquella época debido a la gran autoridad de
Newton que la combatía arguyendo que dicha teoría no podía explicar la
propagación rectilínea.
Reflexión
interna total. Fibra óptica
Hace más de un siglo John Tyndall (1870) demostró que una
fina corriente de agua podía contener y guiar luz; poco después recurrió a
tubos de vidrio y más tarde a hilos gruesos de cuarzo fundido. Todos estos
materiales son dieléctricos, pues en ninguno puede transmitirse la
electricidad. Sin embargo, lo importante de este trabajo fue demostrar que la
luz, al incidir en estos materiales a un determinado ángulo, se refleja dentro
de ellos, es decir, queda confinada y puede propagarse a determinadas distancias.
Esto se puede comprobar de una manera muy sencilla con un apuntador láser y la
pecera de casa o un envase transparente con agua. Si en el envase o pecera, se
apunta con el láser de abajo hacia arriba a la frontera entre el agua y el aire
(interface agua-aire), la luz pasará por el agua y saldrá del recipiente. Pero
si se va moviendo el apuntador láser tratando de que cada vez esté más
horizontal (paralelo al suelo), parte de la luz saldrá del agua y parte se
reflejará hacia adentro. Si el apuntador se coloca cada vez más
horizontalmente, se llegará a un determinado ángulo en que la luz ya no saldrá
al aire y se reflejará totalmente dentro del agua. Este fenómeno se conoce como
reflexión total interna y es el principio de funcionamiento de las fibras ópticas.
En ellas la luz se propaga y se conduce mediante muchas reflexiones totales
internas o, simplemente, mediante reflexiones múltiples entre dos interfaces.
La reflexión total interna es el fenómeno que ocurre cuando
la luz incide sobre la superficie de contacto de dos materiales transparentes a
un ángulo muy cerrado.
La luz tiene que
estar pasando a través de un medio con un índice de refracción mayor que el del
medio contiguo.
En la superficie de contacto, toda la luz es reflejada de
nuevo hacia el material circundante y ninguna parte de la luz es transmitida al
material contiguo.
Fibras
ópticas
Las
fibras ópticas son una manera de transportar luz en una forma muy direccional. La
luz se enfoca y se guía a través de una fibra de vidrio cilíndrica. En el
interior de la fibra, la luz rebota de un lado a otro en ángulos muy abiertos
contra las paredes interiores, prácticamente avanzando por su centro hasta el
final de la fibra o filamento, por donde finalmente escapa. La luz no se escapa
de las paredes laterales debido a la reflexión interna total.
¿Qué causa esta reflexión interna total?
La fibra consta de dos capas denominadas: núcleo y
revestimiento.
La luz queda atrapada dentro del núcleo, fabricado de
vidrio, a través del cual se desplaza.
El revestimiento está fabricado de un material
que tiene un índice de refracción mucho menor que el del núcleo. Como la luz
rebota o se refleja de la segunda capa, no puede escapar de la fibra, porque es
difícil que la luz pase a través de un material de elevado índice a un material
de menor índice a un ángulo de incidencia extremo.
¿Por qué es importante la fibra óptica?
Aparte de que es un conducto flexible que se utiliza para
iluminar objetos microscópicos, las fibras se pueden usar también para
transportar información de manera muy similar a la forma en que un hilo de
cobre puede transmitir electricidad. Si bien el hilo de cobre transmite tan
sólo unos cuantos millones de impulsos eléctricos por segundo, la fibra óptica
puede transportar hasta 20 mil millones de impulsos de luz por segundo.
Eso significa que las empresas de teléfono, cable y
computación pueden manejar enormes cantidades de transferencia de datos
simultáneamente; cantidades mucho mayores que la que los cables convencionales
pueden transmitir.
Las
imágenes se clasifican en reales o virtuales. Una imagen real es la que se
forma cuando los rayos luminosos pasan a través y divergen del punto de imagen;
una imagen virtual es la que se forma cuando los rayos luminosos no pasan a
través del punto de imagen si no que sólo parecen divergir de dicho punto. La
imagen formada por el espejo en la (figura3.1) es virtual. La imagen de un
objeto vista en un espejo plano es siempre virtual.
Figura 3.1: Imagen
formada por reflexión
Utilizando la imagen 3.2 para examinar las propiedades de
las imágenes de objetos ex-tensos formadas por espejos planos. A pesar de que
existe un número infinito de posibles direcciones hacia las que los rayos
luminosos pueden salir de cada punto del objeto, sólo necesitamos elegir dos
rayos para determinar dónde se formará la imagen. Uno de esos rayos parte de P sigue una trayectoria horizontal hasta
el espejo y se refleja sobre sí mismo. El segundo rayo sigue la trayectoria
oblicua PR y se refleja como se
muestra, de acuerdo con las leyes de la reflexión. Dado que los triángulos PQR y P´QR son triángulos congruentes, PQ=P´Q de donde podemos concluir que la imagen formada por un
objeto colocado frente a un espejo plano está tan lejos detrás del espejo como
lo está el objeto frente a él.
La geometría también revela que la altura del objeto h es igual a la altura de la imagen h´. Definamos el aumento lateral M de una imagen de la forma siguiente:
Imágenes
Formadas Por Espejos Esféricos
Ahora considere una fuente de luz puntual colocada en el
punto O de la (figura 3.3) donde O es cualquier punto sobre el eje
principal, a la izquierda de C. En la
figura se muestran dos rayos divergentes que se originan en O. Después de reflejarse en el espejo,
estos rayos convergen y se cruzan en la imagen que aparece en el punto I. Después continúan divergiendo
alejándose de I como si en ese punto
existiera un objeto. Como resultado en el punto I tenemos una imagen real de la fuente de luz en O.
Consideremos sólo rayos que divergen del objeto formando un
ángulo pequeño con el eje principal. Estos rayos se conocen como rayos paraxiales, todos los rayos
paraxiales se reflejan a través del punto imagen, como se muestra en la (figura
3.3 b).
Aquellos
rayos que están lejos del eje principal, como los que se muestran en la (figura
3.4) convergen en otros puntos del eje principal, produciendo una imagen
borrosa, a ese efecto se le conoce como aberración
esférica.
La
(figura 3.5) muestra dos rayos que salen de la punta de un objeto. Uno de estos
rayos pasa través del centro de curvatura C
del espejo e incide en el espejo perpendicularmente ala superficie del mismo
reflejándose sobre sí mismo, el segundo rayo incide en el espejo en su centro
(punto V) y se refleja como se muestra en concordancia
con la ley de reflexión. La imagen de la punta de la flecha se localiza en el
punto donde se cruzan ambos rayos. De la (figura 3.5) vemos que tan θ = h/p y tan θ = − h ‘/q, se
introduce el signo negativo porque la imagen está invertida, como consecuencia
de la ecuación 3.1 y de los resultados anteriores, vemos que la amplificación
de la imagen es igual a:
3.2
En
el mismo gráfico, también se obtiene 
de
donde obtenemos:
de
donde obtenemos:
3.3
De las ecuaciones 3.2 y 3.3, se obtiene:
3.4
Esta última ecuación se conoce como ecuación del espejo,
Si p tiende la infinito, entonces 1/p ≈0 y en la ecuación
3.4 q ≈ R/2, tal como se muestra en la (fig. 3.6)
En este caso en especial llamamos al punto de imagen el
punto focal F y a la distancia de esta última la distancia
focal f, donde:
3.5
La distancia focal es un parámetro particular de un espejo
dado, y por lo tanto puede ser utilizado para comparar un espejo con otro. La
ecuación del espejo se puede expresar en función de la distancia focal.
3.6
Imágenes
Formadas Por Espejos Convexos
También conocido como espejo
divergente, la imagen de la (fig 3.7) es virtual porque los rayos reflejados
sólo dan la impresión de originarse en el punto imagen, como se indica mediante
las líneas punteadas. Además, la imagen siempre está cabeza arriba y siempre es
menor que el objeto. Este tipo de espejos se utiliza con frecuencia en las
tiendas para desanimar a los ladrones.
No deduciremos ecuaciones para los espejos esféricos
convexos porque podemos utilizarlas ecuaciones 3.2, 3.4 y 3.6 tanto para
espejos cóncavos como convexos, siempre y cuando sigamos el procedimiento
siguiente. Identifiquemos la región en la cual los rayos luminosos se mueven
hacia el espejo como el lado delantero del mismo y el otro lado como es
trasero. Por ejemplo, en las (fig. 3.7 y 3.5).
Diagrama
de rayos para los Espejos
La posición y el tamaño de las imágenes por los espejos se
pueden determinar convenientemente mediante diagramas de rayos. Estas
construcciones graficas revelan la naturaleza de la imagen y pueden ser
utilizadas para verificar resultados calculados a partir de las ecuaciones del
espejo y del aumento. Para dibujar el diagrama de un rayo, es necesario que
sepamos la posición del objeto y la localización del punto focal, así como el
centro de curvatura del espejo.
Entonces,
dibujamos tres rayos principales para localizar la imagen como se muestra en
los ejemplos de la (fig. 3.8)
En el caso de espejos cóncavos (vea las figuras 3.8a y 3.8b),
trazamos los tres rayos principales siguientes:
1-El rayo 1, desde la parte superior del objeto, paralelo al
eje principal, y se refleja a través del punto focal F.
3-El rayo 3, desde la parte superior del objeto a través del
centro de la curvatura C y se refleja
sobre sí mismo.
En el caso de los espejos convexos (ver la figura 3.8c),
trazamos los tres rayos principales siguientes:
El rayo 1, de la parte superior del objeto paralelo al eje
principal y se refleja alejándose del punto focal F.
El rayo 2, de la parte superior del objeto hacia el punto
focal del lado posterior del espejo y se refleja paralelamente al eje
principal.
El rayo 3, de la parte superior del objeto hacia el centro
de curvatura C en la parte posterior
del espejo y se refleja sobre sí mismo.
Regla convencional para los signos de
los espejos
Imágenes por
refracción en superficies esféricas
Consideremos un objeto luminoso, O, situado en un medio de
índice de refracción n1, a una distancia so del vértice V, de una superficie refractora esférica convexa. Si el segundo medio tiene un índice de refracción n2, mayor
que n2, los rayos que llegan a cualquier punto de la superficie serán desviados
hacia una mayor aproximación a la normal a la superficie.
Refracción en una
superficie esférica cuando n2 > n1
Consideremos el rayo que incide en el punto P, a una altura
l sobre el eje óptico. El radio de curvatura es r y C es el centro de
curvatura. El lugar donde se forma la imagen es I localizado a una distancia si
del vértice de la superficie. Los ángulos a, b, y q son los que forman el rayo
incidente, la normal y el refractado con el eje óptico. Teniendo en cuenta la
aproximación paraxial (tg »sen»áng., para ángulos pequeños) se tiene que:
α = 1/So
β = 1/r
θ = 1/Si
Si aplicamos la ley de Snell:
n1 sen i = n2 sen r
y teniendo en cuenta la aproximación paraxial:
n1.i = n2.r
En el triángulo OPC se observa que a + b + (180 - i) = 180 y
por tanto i = a + b
En el triángulo PCI se observa que r + q + (180 - b) = 180 y
por tanto r = b - q
Si sustituimos tenemos que n1 (a + b) = n2 (b - q); Y
sustituyendo los valores de los ángulos podemos escribir:
n1.(1/So + 1/r) = n2.(1/r - 1/Si)
Expresión de la que se deduce la conocida expresión del
dioptrio esférico
n1/So + n2/Si = (n2 - n1)/r
Fue deducida en 1841 por Gauss y también se conoce como
aproximación gaussiana.
Nota: Dioptrio. Superficie de separación entre dos medios
con distinto índice de refracción.
Esta ecuación es válida para cualquier caso de refracción
siempre que se adopte un criterio de signos adecuado. Criterio de signos para la óptica de la refracción a través de una
superficie. Del mismo modo que ocurría en el caso de los espejos, diremos
que la distancia a la imagen s es positiva si la imagen es real. Esto determina
una diferencia fundamental entre los criterios de la reflexión y refracción: la
imagen real en la primera se forma delante del espejo (en el medio de
incidencia), mientras que en la segunda se forma en el medio de transmisión.
• So es positivo si es objeto está enfrente de la superficie
(en el lado de incidencia) y negativo en el caso contrario.
• Si es positivo si la imagen es real, es decir, si se forma
detrás de al superficie (en el lado de transmisión) y negativo en el caso
contrario.
• r
es positivo si el centro de curvatura se encuentra detrás de la superficie (en
el lado de transmisión y negativo en el caso contrario.
Este criterio es el que aplicaremos en las lentes delgadas.
Aumento de la imagen por refracción
Se define el aumento lateral de la imagen como la relación
existente entre la altura de la imagen formada, h’, y la del objeto, h.
Teniendo en cuenta la aproximación paraxial,
r = -h´/Si
i = h/So
Si utilizamos la ley de Snell; n1.i = n2.r ® n1.(h/So) =
n1.(h´/Si); por tanto el aumento de la imagen viene dado por: h´/h =
n1.Si/n2.So
Distancias focales en
la óptica de refracción
Supongamos
una superficie de refracción convexa que separa dos medios de índices n1 y n2,
en donde n1 < n2. Si el objeto está a una distancia muy lejana (s0 = ∞) los
rayos incidentes pueden considerarse paralelos. El punto Fi en el que convergen
los rayos refractados es denominado foco imagen y si, en este caso particular
fi, distancia focal imagen.
Se puede obtener dicha distancia a partir de la ecuación del
dioptrio esférico.
n1/∞ + n2/fi = (n2 - n1)/r de donde:
fi = n2.r/(n2 - n1)
De forma análoga se puede establecer un foco objeto Fo, que
es el punto de donde debería partir los rayos para que los rayos refractados
salieran paralelos. Así, Si = ∞ y So, correspondiente a la distancia focal
objeto, fo.
n1/fo + n2/∞ = (n2 - n1)/r de donde:
fo = n1.r/(n2 - n1)
Si dividimos ambas expresiones obtenemos la relación entre
ambas distancias focales:
fo/fi = n1/n2
Imágenes formadas por
refracción en superficies planas
Una superficie plana puede considerarse como si fuera una
superficie esférica de radio infinito (r = ∞). La ecuación del dioptrio
esférico quedaría para esta situación:
n1/So + n2/Si = 0 y por tanto la distancia a la que se
formará la imagen es:
Si = -n2.So/n1
Como los índices de refracción nunca son negativos
y teniendo en cuenta nuestro criterio de signo podemos decir: Si el medio de
incidencia de los rayos tiene un mayor índice de refracción que el de transmisión (n1 > n2) veremos el objeto más próximo de lo
que realmente está. Por ejemplo un objeto dentro del agua. Las imágenes de los
objetos bajo el agua parecen hallarse a menor profundidad de lo que realmente
están.
“La imagen de un objeto visto a través de una superficie
refractora plana, es virtual y se forma del lado del objeto (lado de incidencia).”
¿Por qué un palo parcialmente sumergido en agua parece estar
curvado?
La razón es que la imagen que nosotros vemos del remo
sumergido se forma a una profundidad menor que la real. Si consideramos que el
índice de refracción del agua (medio de incidencia) es 1,333 y el del aire
(medio de transmisión) es 1, la distancia a la que se forma la imagen de
nosotros será:
Si = -1/1,333.So = -0,75.So como s es la profundidad real
del objeto, la imagen del remo está a las ¾ partes de la profundidad real. Por
esto el remo parece estar curvado. Es un efecto de refracción. El indica que la imagen está debajo del agua,
virtual.
Regla convencional
para los signos en superficies
Lentes delgadas y
aplicaciones
El desarrollo a seguir se basa en el hecho de que la imagen
formada por una superficie refractora sirve como el objeto para la segunda
superficie.
figura 3.11
Considere una lente con un índice de refracción η y dos
superficies esféricas con radios de curvatura R1 y R2 como en la figura 3.11.
Un objeto se coloca en el punto O a una distancia p1 enfrente de la superficie
1.
Empecemos con la imagen formada por la superficie 1.
Utilizando la ecuación 3.8 y suponiendo que η1= 1, porque la lente está rodeada
por aire, encontramos que la imagen I1 formada por la superficie 1 satisface la
ecuación:
3.9
Donde q1 es la posición de la imagen debida a la
superficie1, Si la imagen debida a la superficie1 es virtual (figura 3.11a) q1
es negativa, y si la imagen es real, q1 es positiva (figura 3.11b).
Ahora aplicamos la ecuación 3.8 a la superficie 2,
utilizando η1=η y η2= 1, si p2 es la distancia objeto de la superficie2 yq2 es
la distancia imagen, obtenemos:
3.10
Ahora introducimos en hecho de que la imagen formada por la
primera superficie actúa como el objeto para la segunda superficie. Hacemos
esto al notar en la (figura 3.11) que p2, medido desde la superficie 2 está
relacionado con q1como sigue:
Imagen virtual de la superficie1 figura (3.11a):p2=−q1+t
Imagen real de la superficie1 (3.11b):p2=−q1+t
Donde
t es espesor de la lente. Luego la ecuación 3.10 se convierte en:
3.11
Sumando las ecuaciones 3.9 y 3.11, tenemos que:
3.12
En el caso de una lente delgada:
3.13
La distancia focal f
de una lente delgada es la distancia imagen que corresponde a una
distancia objeto infinito. Lo mismo que ocurre con los espejos. Si en la
ecuación 3.13hacemos que p tienda al ∞ y que q tienda a f, vemos que la inversa
de la distancia focal de una lente delgada es igual a:
3.14
Esta ecuación se conoce como la ecuación de los fabricantes
de lentes.
Haciendo uso de la ecuación 3.14 y 3.13 podemos escribir:
3.15
Ecuación conocida como la ecuación de las lentes delgadas.
Dado que la luz puede pasar en ambas direcciones a través de
una lente, cada lente tiene dos puntos focales. Esto queda ilustrado en la
(figura 3.12).
Aumento de las
Imágenes
Considere una lente delgada a través de la cual pasan los
rayos luminosos provenientes de un objeto. Igual que con los espejos (ecuación
3.2), es posible analizar la construcción geométrica para demostrar que el
aumento lateral de la imagen es igual a:
Partiendo de esta expresión, se deduce que cuando M es
positiva, la imagen está cabeza arriba y del mismo lado de la lente que el
objeto. Cuando M es negativa, la imagen
aparece invertida y del lado de la lente opuesta al objeto.
Diagramas de rayos
para Lentes Delgadas
Para localizarla imagen de una lente convergente (figura
3.14a y b), se trazan los tres rayos siguientes a partir de la parte superior
del objeto:
El rayo 1, paralelo al eje principal. Una vez refractado por
la lente, este rayo pasa a través del punto focal por detrás de la lente.
El rayo 2. a través del centro de la lente y sigue en línea
recta.
El rayo 3, a través del punto focal del lado anterior de la
lente ( o como si saliera del punto focal en el caso de que p < f ) y emerge de esta
paralelamente el eje principal.
Para localizar la imagen de una lente divergente (figura
refesp06c), se trazan los tres rayos siguientes a partir de la parte superior
del objeto:
El rayo 1, paralelo al eje principal. Después de ser
refractado por la lente, emerge alejándose desde el punto focal del lado
anterior de la lente.
El rayo 2, a través del centro de la lente y continúa en línea
recta.
El rayo 3, en la dirección hacia el punto focal del lado
posterior de la lente y emerge de esta paralelamente al eje principal.
Regla convencional
para los signos en el caso de lentes delgadas
Aberraciones de las
lentes
Un análisis preciso de la formación de la imagen requiere
trazar cada rayo utilizando la ley de Snell sobre casa superficie así como las
leyes de la reflexión en cada superficie de reflexión. Este procedimiento muestra
que los rayos provenientes de un objeto puntual no se enfocan en un solo punto,
lo que da como resultado una imagen borrosa. Los desvíos que sufren las imágenes
reales del ideal especificado en nuestro modelo simplificad, se conocen como
aberraciones.
Aplicaciones
Para
saber si se ha ensuciado be hollín, Santa Claus examina su reflejo en un
ornamento plateado brillante de un árbol de navidad que está a 0.750 m de
distancia, el diámetro del ornamento es de 7.20 cm, estimamos la estatura de
Santa Claus en 1.6 m ¿En dónde aparece y cuál es la altura de la imagen de
Santa Claus que forma el ornamento? ¿Es derecha o invertida?
El radio del espejo convexo es:
R=3,60 cm
Y
la distancia focal:
Un
cierto adorno navideño está construido por una esfera plateada de 8.50 cm de
diámetro. Determine la ubicación de un objeto en donde el tamaño de la imagen
reflejada sea tres cuartas parte de las dimensiones del objeto. Use el diagrama
de rayos principales para describir la imagen.
Solución:
La esfera se comporta como un espejo convexo de radio
R=-4.25cm. Luego:
Luego de la ecuación del espejo, tenemos:
La imagen está hacia arriba, es virtual y más pequeña que la
imagen real.
Interferencia.
Experimento de Young
El término interferencia se refiere a toda situación en la
que dos o más ondas se traslapan en el espacio. Cuando esto ocurre, la onda
total en cualquier punto y en todo momento está gobernada por el principio de Superposición
el cual establece lo siguiente: Cuando se traslapan dos o más ondas, el
desplazamiento resultante en cualquier punto y en cualquier instante se halla
sumando los desplazamientos instantáneos que producirían en el punto las ondas
individuales si cada una estuviera presente sola. Los efectos de interferencia
se observan con facilidad cuando se combinan ondas sinusoidales o de una sola
frecuencia f y longitud de onda λ. En óptica las ondas sinusoidales con
características de la luz monocromática.
Interferencia Constructiva y
Destructiva
Cuando dos ondas provenientes de dos o más fuentes llegan a
un punto en fase, la amplitud de onda resultante es la suma de las amplitudes
de la ondas individuales (Las ondas individuales se refuerzan mutuamente).
Esto se conoce como interferencia constructiva. Sea r1 la
distancia de S1 a cualquier punto P y sear2la distancia de S 2 a P para que se
produzca una interferencia constructiva en P, la diferencia de trayecto
r2−r1correspondiente a las dos fuentes debe de ser múltiplo entero de la
longitud de onda λ.
Si las ondas provenientes de las dos fuentes llegan al punto
P exactamente medio ciclo fuera de fase.
Una cresta de una onda llega al mismo tiempo que una cresta en sentido opuesto
(un valle) de la otra onda, la amplitud resultante es la diferencia entre las
amplitudes individuales. Si las amplitudes son iguales entonces la amplitud
total es cero. Esta cancelación total o parcial de las ondas individuales se
llama interferencia destructiva. La condición para que haya interferencia
destructiva es:
Para que las ecuaciones 4.1 y 4.2 sean válidas, las dos
fuentes deben de tener la misma longitud de onda y estar siempre en fase.
Interferencia de luz
de dos Fuentes
Uno de los primeros experimentos cuantitativos que ponen de
manifestó la interferencia de luz proveniente de dos fuentes fue realizado por
el científico Thomas Young. En la figura se muestra en perspectiva el aparato
de Young, una fuente de luz emite luz monocromática, sin embargo esta luz no es
idónea para un experimento de interferencia porque las emisiones de las
diferentes partes de una fuente ordinaria no están sincronizadas. Para remediar
esto se dirige la luz hacia a una ranura estrecha S0 aproximadamente de 1µm
de ancho. La luz que emerge de la ranura proviene solo de una región pequeña de
la fuente luminosa; por tanto la ranuras 0
se comporta en mayor medida como fuente idealizada. La luz que emana la ranura S0 ilumina una pantalla con otras dos
ranuras estrechas S1 y S2 cada una de
aproximadamente 1µm de ancho y unas
pocas decenas o centenas de micrómetros de distancia una de la otra, a partir
de la ranura S0 se propagan frentes
de onda cilíndricos, los cuales alcanzan las ranuras S1 y S2 en fase porque recorren distancias iguales des de S0. Por consiguiente las ondas que
emergen delas ranuras S1 y S2 son
fuentes coherentes. La interferencia de las ondas procedentes de S1 y S2 crea un patrón en el espacio
como se muestra en la figura.
Para visualizar el patrón de interferencia se coloca una
pantalla de modo que la luz proveniente de S1
y S2 incida sobre ella. Se observa
que la pantalla está iluminada con intensidad máxima en los puntos P. Don de las ondas luminosas
provenientes de las ranuras interfieren constructiva mente y se ve más oscura en
los puntos donde la interferencia es destructiva.
Experimento de Young
El
experimento de Young, también denominado experimento de la doble rendija, fue
realizado en 1801 por Thomas Young, en un intento de discernir sobre la
naturaleza corpuscular u ondulatoria de la luz. Young comprobó un patrón de
interferencias en la luz procedente de una fuente lejana al difractarse en el
paso por dos rejillas, resultado que contribuyó a la teoría de la naturaleza
ondulatoria de la luz.
Posteriormente, la experiencia ha sido
considerada fundamental a la hora de demostrar la dualidad onda corpúsculo, una
característica de la mecánica cuántica. El experimento también puede realizarse
con electrones, protones o neutrones, produciendo patrones de interferencia
similares a los obtenidos cuando se realiza con luz, mostrando, por tanto, el
comportamiento dual onda-corpúsculo de la materia.
Distribución de
intensidad luminosa
Esta distribución de la intensidad luminosa asociada al patrón
de interferencia de doble rendija se calcula suponiendo que estas dos rendijas
presentan fuentes coherentes de ondas sinusoidales. Por lo tanto las ondas
tienen la misma frecuencia angular (ω) y una diferencia de fase constante (φ).
La intensidad de campo eléctrico total en un punto P sobre la pantalla en la
figura figura 4. Es la superposición vectorial de las dos ondas. Suponiendo que
las dos ondas tienen la misma amplitud en E0, podemos escribir las intensidades
del campo eléctrico en P debidas a cada onda por separado como:
Aunque las ondas están en fase en las rendijas, su
diferencia de fase x en P depende de la diferencia
de trayectoria δ = r2 – r1 = d sin. Debido a que una diferencia de
trayectoria de (interferencia constructiva) corresponde a una diferencia de
fase de 2 y rad, en tanto que la
diferencia de 2/z (interferencia destructiva)
corresponde a una diferencia de fase de y rad, obtenemos la razón:
Distribución de Intensidad del Patrón de Interferencia de doble rendija.
Esta distribución se calcula suponiendo que las dos rendijas
representan fuentes coherentes de ondas sinusoidales. Por lo tanto, las ondas
tienen la misma frecuencia angular ω y una diferencia de fase constante (φ). La
intensidad de campo eléctrico total en el punto P sobre la pantalla en la
Figura 4 es la superposición vectorial de las dos ondas. Suponiendo que las dos
ondas tienen la misma amplitud E0, podemos escribir las intensidades de campo
eléctrico en P debidas a cada onda por separado como:
Difracción
En
física, la difracción es un fenómeno característico de las ondas, éste se basa
en el curvado y esparcido de las ondas cuando encuentran un obstáculo o al
atravesar una rendija. La difracción ocurre en todo tipo de ondas, desde ondas
sonoras, ondas en la superficie de un fluido y ondas electromagnéticas como la
luz y las ondas de radio. También sucede cuando un grupo de ondas de tamaño
finito se propaga; por ejemplo, por causa de la difracción, un haz angosto de
ondas de luz de un láser debe finalmente divergir en un rayo más amplio a una
cierta distancia del emisor.
A
interferencia se produce cuando la longitud de onda es mayor que las
dimensiones del objeto, por tanto, los efectos de la difracción disminuyen
hasta hacerse indetectables a medida que el tamaño del objeto aumenta comparado
con la longitud de onda.
En el espectro electromagnético los Rayos X tienen
longitudes de onda similares a las distancias ínter atómicas en la materia. Es
posible por lo tanto utilizar la difracción de rayos X como un método para
explorar la naturaleza de la estructura cristalina. La difracción producida por
una estructura cristalina verifica la ley de Bragg.
Difracción de Fraunhofer
La Difracción de Fraunhofer o también difracción del campo
lejano es un patrón de difracción de una onda electromagnética cuya fuente (al
igual que la pantalla) se encuentran infinitamente alejadas del obstáculo, por
lo que sobre éste y sobre la pantalla incidirán ondas planas. La difracción de
Fraunhofer es, de esta manera, un caso particular de la difracción de Fresnel,
y que también resulta más sencillo de analizar. Este tipo de fenómeno es
observado a distancias más lejanas que las del campo cercano de la difracción
de Fresnel y ocurre solamente cuando el número de Fresnel es mucho menor que la
unidad y se puede realizar la aproximación de rayos paralelos.
Difracción de Fresnel
La Difracción de Fresnel o también difracción del campo
cercano es un patrón de difracción de una onda electromagnética obtenida muy
cerca del objeto causante de la difracción (a menudo una fuente o apertura).
Más precisamente, se puede definir como el fenómeno de difracción causado
cuando el número de Fresnel es grande y por lo tanto no puede ser usada la
aproximación Fraunhofer (difracción de rayos paralelos).
Geometría de la difracción, mostrando los planos de la
apertura (u objeto difractór) y de la imagen con un sistema de coordenadas.
Difracción de una
sola rendija
De acuerdo con la óptica geométrica, el haz transmitido
debería tener la misma sección transversal que la ranura, como en la figura
5.1a. Lo que se observa en efecto es el patrón que se muestra en la figura 5.1b
el haz se ensancha en sentido vertical después de pasar después de pasar por la
ranura. El patrón de difracción consiste en una banda central brillante, que
puede ser mucho más amplia que el ancho de la ranura, bordeada de bandas oscuras
y brillantes alternas cuya intensidad decrece rápidamente. Al rededor del 85%
dela potencia del haz transmitido se encuentra en la banda central brillante,
cuya anchura resulta ser inversamente proporcional al ancho de la ranura.
La situación de la figura 5.2b es una difracción de Fresnel,
en las figura 5.2c y 5.2d, donde se considera que los rayos salientes son
paralelos, la difracción es de Fraunhofer. Considérense en primer término dos
tiras largas, una inmediatamente debajo del borde superior del dibujo de la
ranura y otra en su centro, la cual se muestra vista desde un extremo de la
figura 5.3. La diferencia de longitud de trayecto al punto P es a/2sin θ donde
a es el ancho de la ranura y θ, el ángulo entre la perpendicular a la ranura y
una recta del centro de la ranura a P. Supóngase que esta diferencia de trayecto
resulta ser igual a λ/2; entonces la luz proveniente de estas dos tiras
alcanzan en punto P con una diferencia de fase de medio ciclo, y no hay
cancelación.
Intensidad en el Patrón de una sola
Ranura
En
el punto O de la figura 5.3a, que corresponde al centro del patrón donde θ= 0,
las diferencias de trayecto cuando x* a son
insignificantes, los fasores están todos prácticamente en fase (es decir tienen
la misma dirección). En la figura 5.4a aun ángulo θ se
han dibujado los fasores en el tiempo t= 0 y se denota la amplitud resultante
en O con E0. Considérese ahora las ondas que llegan desde diferentes tiras al
punto P de la figura5.4a a un ángulo θdel punto O. Debido a las diferencias de longitud de
trayecto, ahora hay diferencias de fase entre las ondas que llegan de tiras
adyacentes; el diagrama de fasores correspondientes se muestra en la figura
5.4b. La suma vectorial de los fasores ahora parte del perímetro de un polígono
de muchos lados, y, EP la amplitud del campo eléctrico resultante en P es la cuerda.
El ángulo β es la diferencia de fase total entre la
onda procedente de la tira superior de la figura
5.3a y la que llega de la tira del extremo inferior; es decir β es la fase de
la onda en P proveniente del extremo superior con respecto a la onda que se
recibe en P de la tira del extremo inferior.
Podemos imaginar que dividimos la ranura en tiras cada vez
más angostas. En el límite, donde se tiene un número finito de tiras
infinitamente angostas, la curva que describen los fasores se convierte en un
arco de círculo figuras 5.4b con una longitud de arco igual a la longitud E0 de
la figuras El centro C de este arco se halla construyendo perpendiculares A y
B. Con base en la relación entre la longitud de arco, radio y ángulo, el radio
del arco es E0/β; la amplitud EP del campo eléctrico resultante en P es igual a
la cuerda AB, que es 2(E0/β) sin (β/2). Tenemos entonces:
5.5
La intensidad en cada punto de la pantalla es proporcional
al cuadrado de la amplitud dada por la ecuación 5.5. Si I0 es la intensidad en
la dirección hacia el frente donde θ= 0 y β = 0, entonces la intensidad I en
cualquier punto es.
5.6
Podemos expresar la diferencia de fase β en términos de magnitudes geométricas. De
acuerdo con la ecuación 4.12 la diferencia de fase es 2π/λ por la diferencia de
trayecto. La figura 5.3 muestra que la diferencia de trayecto entre el rayo
proveniente del extremo superior de la ranura y el rayo que llega de la parte
media es (a/2)sin θ. La diferencia de trayecto entre los rayos procedentes del
extremo superior y del extremo inferior de la ranura es el doble de esto; por
tanto:
5.7
Y la ecuación 5.6se transforma en:
5.8
Las franjas oscuras del patrón son los lugares donde I = 0.
Estos se presentan en puntos donde el numerador de la ecuación 5.6 es cero, por
lo que β es un múltiplo de 2π. De acuerdo con la ecuación 5.7 esto corresponde
a:
La ecuación 5.6 no está definida para β = 0 pero calculando
el límite encontramos que, en β = 0, I =I0, como era de esperarse.
Máximos de Intensidad en el Patrón de
una sola ranura
La ecuación 5.6 también permite calcular las posiciones de
las crestas, o máximos de intensidad, así como la intensidad de estas crestas.
Esto no es tan simple como podría parecer. Cabría esperar que los máximos se
presentan donde la función sin alcanza el valor de ±1, esto es, donde β
=±π,±3π,±5π o en general:
Anchura del patrón de una sola Ranura
Cuando los ángulos son pequeños la extensión angular del
patrón de difracción es inversa-mente proporcional al ancho de la ranura a. En
el caso de las ondas luminosas, la longitud de onda λ suele ser mucho más
pequeña que el ancho de la ranura a, y los valores de θ en las ecuaciones 5.7 y
5.8 son tan pequeños que la aproximación sin θ=θ es muy buena. Con esta
aproximación, la posición θ1 del primer mínimo al lado del máximo central que
corresponde aβ/2 =π, es según la ecuación 5.8:
Esto caracteriza la anchura (extensión angular) del máximo
central, cuando la aproximación de ambos ángulos pequeños es válida, el máximo
central es exactamente dos veces más ancho que cada máximo lateral. Cuando a es
del orden de un centímetro o masθ1estan pequeño que podemos considerar que
prácticamente toda la luz está concentrada en el foco geométrico. Pero cuando a
es menor que λ, el máximo central abarca 180◦y no se observa el patrón de
franjas.
Alumno:
Ricardo Avalos Galvan
Materia:
Tópicos selectos de física
Esc:
Instituto Tecnológico de Ciudad Guzmán
Carrera:
Ing. Electronica
No tienes el del tema de introduccion a la termodinamica? :v
ResponderEliminarmuy buena la compilación de información
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